Giải Câu 64 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

a) (widehat {BA{rm{D}}} = {{{{90}^0} + {{120}^0}} over 2} = {105^0}) (góc nội tiếp chắn (overparen{BCD}))     (1)

(widehat {A{rm{D}}C} = {{{{60}^0} + {{90}^0}} over 2} = {75^0}) ( góc nội tiếp chắn(overparen{ABC}) )          (2)

Từ (1) và (2) có:

(widehat {BA{rm{D}}} + widehat {A{rm{D}}C} = {105^0} + {75^0} = {180^0}) (3)

Mà (widehat {BA{rm{D}}}) và (widehat {A{rm{D}}C}) là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến (AD) và hai đường thẳng (AB, CD).

=> (AB // CD). Do đó tứ giác (ABCD) là hình thang.

Mà $ABCD$ nội tiếp hình tròn nên $ABCD$ là hình thang cân.

Vậy (ABCD) là hình thang cân.

((BC = AD) và (sđoverparen{BC})=(sđoverparen{AD})=(90^0))

b) Gọi $I$ là giao của hai đường chéo (AC) và (BD).

(widehat {CI{rm{D}}}) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, chắn cung CD và cung AB, nên:

(widehat{CI{rm{D}}})=(frac{sđoverparen{AB}+sđoverparen{CD}}{2})=({{{{60}^0} +{{120}^0}} over 2} = {90^0})

Vậy (AC bot BD)

c)

Vì (sđoverparen{AB}) = (60^0) nên (widehat {AOB} = {60^0}) (góc ở tâm)

Lại có: $Delta AOB$ cân tại $O$ (vì $OA=OB=R$)

(=> ∆AOB) đều => (AB = R)

Ta có: $Delta COD$ cân tại $O$ (vì $OC=OD=R$)

lại có: (sđoverparen{BC})= (90^0) => (widehat {COD} = {90^0}) => $Delta COD$ vuông cân tại O

=> $BC=sqrt{2.OB^2}=R.sqrt{2}$

Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AD=BC=R.sqrt2$

Ta có: (sđoverparen{CD})= (120^0) => (widehat {COD} = {120^0})

Từ $O$ kẻ $OHperp CD,Hin CD$ => (widehat {COH} = frac{1}{2}.widehat{COD}={60^0})

Trong $Delta COH$ vuông tại $H$ có:

$tan COH=frac{CH}{OC}=>tan {60^0}=frac{CH}{R}=>CH=R.sqrt{3}$

Vậy các cạnh của tứ giác $ABCD$ có độ dài: $BC=AD=R.sqrt{2};AB=R;CD=R.sqrt{3}$