Giải câu 3 bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

a. Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0 = 1).

Ta có: (∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) – (1^2+ 1)= 3∆x + (∆x)^2)

(frac{Delta y}{Delta x} = frac{3∆x + (∆x)^2}{∆x}=3 + ∆x)

(mathop {lim }limits_{Delta x to 0} {{Delta y} over {Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} (3 + Delta x) = 3)

Vậy (f'(1) = 3).

b) Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 2)

Ta có: (∆y = f(2 + ∆x) – f(2))

(=  frac{1}{2+Delta x}  –  frac{1}{2} =frac{2-2-Delta x}{2(2+Delta x)}= –  frac{Delta x}{2left ( 2+Delta x right )});

( frac{Delta y}{Delta x} = frac{-  frac{Delta x}{2left ( 2+Delta x right )}}{Delta x}=- frac{1}{2left ( 2+Delta x right )})

(mathop {lim }limits_{Delta x to 0} {{Delta y} over {Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} left( { – {1 over {2.(2 + Delta x)}}} right) =  – {1 over 4})

Vậy (f'(2) = – frac{1}{4}).

c) Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 0).

Ta có: (∆y = f(∆x) – f(0) = frac{Delta x+1}{Delta x-1}- ( -1) =frac{∆x+1+∆x-1}{∆x-1}=  frac{2Delta x}{Delta x-1});

( frac{Delta y}{Delta x}=frac{frac{2Delta x}{Delta x-1}}{∆x}=frac{2}{Delta x-1})

( mathop {lim}limits_{Delta xrightarrow 0}) ( frac{Delta y}{Delta x}) = ( mathop {lim}limits_{Delta xrightarrow 0})  ( frac{2}{Delta x-1} = -2).

Vậy (f'(0) = -2).