Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức

Bài làm:

I. Phương pháp giải:

Chú ý công thức ||z₁| – |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁ – z₂|.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z-3-4i|=sqrt{5}.$ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+2|^2-|z-i|^2.$ Tìm môđun của số phức $w= M+mi$.

Bài giải:

Ta có $|z-3-4i|=sqrt{5} Leftrightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=5 ; (C)$

Tính toán ta được $P=|z+2|^2-|z-i|^2= 4x+2y+3.$ Xét đường thẳng $d: 4x+2y+3-P=0.$

Đường thẳng d và đường tròn (C) có điểm chung khi và chỉ khi

$d(I; d)leq R Leftrightarrow |23-P|leq 10 Leftrightarrow 13leq Pleq 33.$

Vậy $M=33$; $m=13.$ Khi đó $w=33+13i$ nên $|w|=sqrt{1248}.$

Bài tập 2: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z^2-2z+5|=|(z-1+2i)(z+3i-1)|$. Tính $min |w|$ với số phức $w=z-2+2i.$

Bài giải:

Ta có $z^2-2z+5=(z-1)^2+4=(z-1)^2-(2i)^2 =(z-1+2i)(z-1-2i).$

Khi đó, giả thiết $ Leftrightarrow |(z-1+2i)(z-1-2i)|=|(z-1+2i)(z+3i-1)|$

$Leftrightarrow left[begin{array}{l}z=1-2i \|z-1-2i|=|z+3i-1|end{array}right.$

TH1: Với z=1-2i, ta có w=z-2+2i=-1. Vậy $|w|=1$.

TH2: Với $|z-1-2i|=|z+3i-1|$ (*), đặt z=x+yi, ta có

$(*)Leftrightarrow |x-1+(y-2)i|=|x-1+(y+3)i|$

$Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=(x-1)^2+(y+3)^2 Leftrightarrow  y=frac{-1}{2}$

Do đó $w=z-2+2i=x-frac{1}{2}i-2+2i=x-2+frac{3}{2}i Rightarrow |w|=sqrt{(x+2)^2+frac{9}{4}}geq frac{3}{2}.$

Vậy $min |w|=frac{3}{2}.$

Bài tập 3: Cho số phức $z$ thoả mãn $|z|=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

             $T=|z+1|+2|z-1|$.

Bài giải:

Gọi $z=x+yi Rightarrow M(x; y).$

Và $A(-1; 0), B(1;0)$. Ta có $|z|=1 Rightarrow |x+yi|=1 Leftrightarrow  x^2+y^2=1.$

$Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính AB.

$Rightarrow MA^2+MB^2=AB^2=4.$ Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có

$T=MA + 2MB leq sqrt{(1^2+2^2)(MA^2+MB^2)}=sqrt{5.4}=2sqrt{5}$.

Vậy $Max T= 2sqrt{5}.$

Bài tập 4: Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $|z-2-4i|=sqrt{5}.$ Tìm Max $|z|$; $min |z|$.

Bài giải:

Vì $|z-2-4i|=sqrt{5}$ nên tập hợp các điểm $M(z)$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;4)$ và bán kính $R=sqrt{5}.$

Vậy $Max |z|=OM=OI+R=sqrt{2^2+4^2}+sqrt{5}=3sqrt{5}.$

$min |z|=ON=OI-R=sqrt{2^2+4^2}-sqrt{5}=sqrt{5}.$

Bài tập 5: Trong các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $|z-5i|leq 3.$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.

Bài giải:

Tập hợp các điểm $M(z)$ là hình tròn $(C)$ tâm $I(0;5)$ và bán kính R=3.

Vậy số phức z có môđun nhỏ nhất là $z=2i.$

Câu hỏi Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức được trả lời bởi các giáo viên trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam. Hy vọng sẽ giúp các em nắm được bài học một cách tốt nhất.

Đăng bởi: Hanoi1000.vn

Chuyên mục: Giáo dục

Rate this post

Hanoi1000

Là một người sống hơn 30 năm ở Hà Nội. Blog được tạo ra để chia sẻ đến mọi người tất cả mọi thứ về Hà Nội. Hy vọng blog sẽ được nhiều bạn đọc đón nhận.

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button