Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứa mũ và lôgarit

Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứa mũ và lôgarit

Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứa mũ và lôgarit.

Chứng minh bất đẳng thức: $f(x)> g(x)$ tương tự cho $leq ; geq ; <$.

Bài làm:

I. Phương pháp giải:

  1. Chuyển bất đẳng thức đã cho về dạng: $h(x)>0$ tương tự cho $leq ; geq ; <$.
  2. Tìm tập xác định của hàm số y=h(x).
  3. Tính đạo hàm y’=h'(x), giải phương trình h'(x)=0.
  4. Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra được bất đẳng thức cần chứng minh.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức: 

$arctan x – frac{pi}{4}geq ln (1+x^2)-ln2 ; forall xin [frac{1}{2};1].$

Bài giải: Ta có $arctan x – frac{pi}{4}geq ln (1+x^2)-ln2 Leftrightarrow arctan x – ln (1+x^2)geq frac{pi}{4}-ln2$.

Xét hàm số $arctan x – ln (1+x^2)$ với $xin [frac{1}{2};1].$

Ta có $f'(x)=frac{1}{1+x^2}-frac{2x}{1+x^2}=frac{1-2x}{1+x^2}.$

$f'(x)=0 Leftrightarrow 1-2x=0 Leftrightarrow x=frac{1}{2}$.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta được $arctan x – ln (1+x^2) geq  frac{pi}{4} -ln2 ; forall xin [frac{1}{2};1].$ 

Vậy $arctan x – frac{pi}{4}geq ln (1+x^2)-ln2 ; forall xin [frac{1}{2};1].$

Bài tập 2: Chứng minh $e^xgeq 1+x ; forall x>0.$

Bài giải: Xét hàm số $e^x -1-x$ với $xin [0; +infty)$.

Ta có: $f'(x)=e^x-1>e^0-1=0$ với $xin [0; +infty)$.

$Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $[0; +infty)$ $Rightarrow f(x)>f(0) $ với $forall x>0$.

Vậy $e^x -1-x>0$ hay $e^x >1+x$ (điều phải chứng minh).

Câu hỏi Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứa mũ và lôgarit được trả lời bởi các giáo viên trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam. Hy vọng sẽ giúp các em nắm được bài học một cách tốt nhất.

Đăng bởi: Hanoi1000.vn

Chuyên mục: Giáo dục

Rate this post

Hanoi1000

Là một người sống hơn 30 năm ở Hà Nội. Blog được tạo ra để chia sẻ đến mọi người tất cả mọi thứ về Hà Nội. Hy vọng blog sẽ được nhiều bạn đọc đón nhận.

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button