Dạng 2: Chứng minh các hệ thức vectơ

I.Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng, phép trừ và các tính chất của các phép toán về vectơ để biến đổi các hệ thức vectơ.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF.

Bài giải:

a) Chứng minh rằng:

$vec{IA}+vec{IB}+vec{IC}+vec{ID}=0$.

b) Với điểm M bất kì trong không gian, hãy chứng minh rằng:

$4vec{MI}=vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}$.

Bài giải:

a) Ta có:

$vec{IA}+vec{IB}=2vec{IE}$

$vec{IC}+vec{ID}=2vec{IF}$

$Rightarrow vec{IA}+vec{IB}+vec{IC}+vec{ID}=2(vec{IE}+vec{IF})$

Vì I là trung điểm của EF nên $vec{IE}+vec{IF}=0Rightarrow vec{IA}+vec{IB}+vec{IC}+vec{ID}=0$. (đpcm)

b) Ta có:

$vec{MI}=vec{MA}+vec{AI}$

$vec{MI}=vec{MB}+vec{BI}$

$vec{MI}=vec{MC}+vec{CI}$

$vec{MI}=vec{MD}+vec{DI}$

$Rightarrow 4vec{MI}=vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}+vec{AI}+vec{BI}+vec{CI}+vec{DI}$

Mà theo câu a) ta có $vec{IA}+vec{IB}+vec{IC}+vec{ID}=0 Rightarrow 4vec{MI}=vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}$.

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng  +  =  + .

Bài giải:

Ta có:

$vec{AC}=vec{AD}+vec{DC}$

$vec{BD}=vec{BC}+vec{CD}$

$Rightarrow vec{AC}+vec{BD}=vec{AD}+vec{DC}+vec{BC}+vec{CD}$

Mà $vec{DC}+vec{CD}=0$ nên $vec{AC}+vec{BD}=vec{AD}+vec{BC}$