Nội dung bài viết (chọn nhanh)
Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.
Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.
Giải
Gọi phân số \({a \over b}\) với a > 0, b > 0. Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.
Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)
Số nghịch đảo của \({a \over b}\) là \({b \over a}\) ta có:
\({a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a} \)
\(= {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a} \)
\(= {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\) (1)
Ta có: \({m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}\) (dấu bằng xảy ra khi m = 0)
Suy ra: \({a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} = {{a + m} \over {a + m}} = 1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2\), dấu bằng xảy ra khi m = 0 hay a = b.
Hanoi1000
Xem lời giải SGK – Toán 6 – Xem ngay
Câu 101 trang 29 Sách Bài Tập (SBT) Toán Lớp 6 tập 2
Đăng bởi: Hanoi1000.vn
Chuyên mục: Giải bài tập
